因为0 + 1 = 1 ，所以0×(0 + 1) = 0×1 。而在数学中，我们知道0乘以任何数都等于0 ，所以0×1 = 0 。

这样就得到：

0×0 + 0×1 = 0

又因为0×1 = 0 ，所以0×0 + 0 = 0 。根据加法的性质，一个数加上0等于它本身，所以0×0 = 0 。

完成这一步证明后，林云稍作停顿，抬起头看了看周围的人。大家都沉浸在他的证明过程中，脸上露出若有所思的神情。有几个对数学比较熟悉的人微微点头，眼中满是赞赏。

但林云觉得还可以从更基础的数学原理出发，给出另一种证明。他想到了基于集合论的方法。在集合论中，数可以用集合的基数来表示。空集的基数为0 ，即|?| = 0 。

他在纸上画了几个简单的集合图形，开始解释：“我们把乘法看作是集合的笛卡尔积的基数。对于两个集合A和B ，它们的笛卡尔积A×B是由所有有序对(a, b)组成的集合，其中a∈A ，b∈B 。”

“当A和B都是空集时，即A = ? ，B = ? ，那么它们的笛卡尔积A×B也是一个空集。因为没有任何元素可以组成有序对。而空集的基数是0 ，所以|A×B| = 0 ，也就是0×0 = 0 。”

这一证明方法从另一个角度揭示了0×0等于0的本质，让周围的人眼前一亮。人群中开始有人小声议论起来，“原来还可以从集合论的角度来证明，真是太巧妙了！”“是啊，林云的思维太开阔了，这种方法我从来没想过。”

林云并没有就此满足，他继续深入思考，又想到了一种基于极限概念的证明方法。虽然极限的概念相对复杂一些，但对于理解数学的深层次原理非常有帮助。

他在纸上写下极限的定义和一些基本符号：“当x趋近于某个值时，函数f(x)的极限可以表示为lim(x→a) f(x) 。”